Concours externe d'administrat·eur·rice de l'Insee — 2016

Épreuve de mathématiques

Le sujet est accessible ici au format PDF.

Les propositions de corrections présentées ci-dessous n'engagent que l'auteur de ce site.

Partie 1 — Analyse et algèbre

Exercice 1

On note $J$ l'intervalle $\left] 0,+\infty \right[$ et on définit sur $J$ la fonction $h$ par :

Montrer que la fonction $h$ est bien définie.

Pour $x>0$, la fonction $t\mapsto \dfrac{x\cos t}{x^{2}+t^{2}}$ est continue sur $[0,+\infty[$.
– Sur $[0,1]$, elle est bornée (en particulier $ \left|\dfrac{x\cos t}{x^{2}+t^{2}}\right| \le \dfrac{x}{x^{2}}=\dfrac1x$), donc intégrable.
– Sur $[1,+\infty[$, on a par critère de Riemann : \[ \left|\frac{x\cos t}{x^{2}+t^{2}}\right| \le \frac{x}{t^{2}}, \qquad \text{et} \quad \int_{1}^{+\infty}\frac{x}{t^{2}}\,\mathrm dt = x <+\infty. \] L'intégrale impropre converge donc absolument sur $[1,+\infty[$. Par additivité, l'intégrale sur $[0,+\infty[$ existe : $h$ est bien définie sur $J$.
1. À l'aide d'une intégration par parties, établir l'égalité suivante :
  $$ h(x) \;=\; 2x \int_{0}^{+\infty} \frac{t \,\sin t}{\bigl(x^{2} + t^{2}\bigr)^{2}} \,\mathrm{d}t. $$
  Pour $b>0$, on intègre par parties sur $[0,b]$ avec \[ u(t)=\frac{x}{x^{2}+t^{2}},\qquad v'(t)=\cos t \quad\Longrightarrow\quad u'(t)=-\frac{2xt}{(x^{2}+t^{2})^{2}},\; v(t)=\sin t. \] On obtient donc \[ \int_{0}^{b}\frac{x\cos t}{x^{2}+t^{2}}\,\mathrm dt =\Big[\frac{x\sin t}{x^{2}+t^{2}}\Big]_{0}^{b} +2x\int_{0}^{b}\frac{t\sin t}{(x^{2}+t^{2})^{2}}\,\mathrm dt. \] Comme $\dfrac{x\sin b}{x^{2}+b^{2}}\to 0$ quand $b\to+\infty$ (car $|\sin b|\le 1$ et $\dfrac{x}{x^{2}+b^{2}}\le \dfrac{x}{b^{2}}$), et $\sin 0=0$, on peut passer à la limite $b\to+\infty$ (les intégrales impropres étant convergentes par majoration) et l'égalité annoncée s'ensuit : \[ h(x)=2x\int_{0}^{+\infty}\frac{t\sin t}{(x^{2}+t^{2})^{2}}\,\mathrm dt. \]
2. En déduire l'inégalité suivante :
  $$ \forall x \in J,\quad |h(x)| \;\leqslant\; \frac{1}{x}. $$
  D'après (a), \[ |h(x)|\le 2x\int_{0}^{+\infty}\frac{t\,|\sin t|}{(x^{2}+t^{2})^{2}}\,\mathrm dt \le 2x\int_{0}^{+\infty}\frac{t}{(x^{2}+t^{2})^{2}}\,\mathrm dt. \] Or, en posant $u=t^{2}$, \[ \int_{0}^{+\infty}\frac{t}{(x^{2}+t^{2})^{2}}\,\mathrm dt =\frac1{2}\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(x^{2}+u)^{2}}\,\mathrm du =\frac1{2}\Big[-\frac{1}{x^{2}+u}\Big]_{0}^{+\infty} =\frac{1}{2x^{2}}. \] Ainsi $|h(x)|\le 2x\times \dfrac{1}{2x^{2}}=\dfrac{1}{x}$.
3. Donner la limite de $h(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
  
  D'après (b), on a $\forall x \in J$ : \[ -\frac{1}{x} \le h(x) \le \frac{1}{x}. \] Par encadrement, $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}h(x)=0$.
1. À l'aide d'un changement de variable, montrer que, pour tout $x \in J$ :
  $$ h(x) \;=\; \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos (xt)}{1 + t^{2}} \,\mathrm{d}t. $$
  Dans la définition de $h(x)$, on pose $t=xu$ (avec $u\in[0,+\infty[$), donc $\mathrm dt=x\,\mathrm du$. Alors \[ h(x)=\int_{0}^{+\infty}\frac{x\cos(xu)}{x^{2}+x^{2}u^{2}}\,x\,\mathrm du =\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(xu)}{1+u^{2}}\,\mathrm du, \] ce qui donne la formule voulue (en renommant la variable d'intégration).
2. Établir, pour tout réel $a$, l'encadrement suivant :
  $$ 0 \;\leqslant\; 1 - \cos a \;\leqslant\; \frac{a^{2}}{2}. $$
  Comme $\forall a \in \mathbb{R}$, $-1 \le \cos(a) \le 1$, on a directement : \[ 0 \le 1 - \cos(a). \] Puis, en utilisant la formule de l'angle double : \[ 1-\cos a = 2\sin^{2}\!\Big(\frac{a}{2}\Big) \le 2\Big(\frac{|a|}{2}\Big)^{2}=\frac{a^{2}}{2}, \] car $|\sin u|\le |u|$ pour tout $u\in\mathbb R$.
3. Montrer l'encadrement suivant :
  $$ \forall x \in J,\; \forall A>0,\quad 0 \;\leqslant\; \frac{\pi}{2} - h(x) \;\leqslant\; \frac{x^{2}}{2} \int_{0}^{A} \frac{t^{2}}{1+t^{2}} \,\mathrm{d}t \;+\; 2 \int_{A}^{+\infty} \frac{1}{1 + t^{2}} \,\mathrm{d}t. $$
  On remarque que, en utilisant la dérivée de $\arctan$, $\forall x \in J$ : \[ \frac{\pi}{2}-h(x)=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{1+t^{2}}\,\mathrm dt - \int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(xt)}{1+t^{2}}\,\mathrm dt = \int_{0}^{+\infty}\frac{1-\cos(xt)}{1+t^{2}}\,\mathrm dt \ge 0. \] Soit $A>0$. En découpant $[0,+\infty[=[0,A]\cup[A,+\infty[$ et en utilisant (3b) et $|1-\cos(xt)|\le 2$, on obtient \[ \begin{aligned} 0\le \frac{\pi}{2}-h(x) &\le \int_{0}^{A}\frac{1-\cos(xt)}{1+t^{2}}\,\mathrm dt +\int_{A}^{+\infty}\frac{2}{1+t^{2}}\,\mathrm dt \\ &\le \int_{0}^{A}\frac{(xt)^{2}}{2(1+t^{2})}\,\mathrm dt +2\int_{A}^{+\infty}\frac{1}{1+t^{2}}\,\mathrm dt \\ &= \frac{x^{2}}{2}\int_{0}^{A}\frac{t^{2}}{1+t^{2}}\,\mathrm dt +2\int_{A}^{+\infty}\frac{1}{1+t^{2}}\,\mathrm dt, \end{aligned} \] ce qui donne l'encadrement requis.
4. Déterminer la limite de $h(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs supérieures.
  
  D'après (3c), $\forall x \in J$, $\forall A>0$ : \[ 0\le \frac{\pi}{2}-h(x)\le \frac{x^{2}}{2}\int_{0}^{A}\frac{t^{2}}{1+t^{2}}\,\mathrm dt +\pi - 2\arctan(A). \] En fixant $A$ et en faisant tendre $x\to 0^{+}$, le premier terme du majorant tend vers $0$. On obtient $\forall A > 0$ : \[ 0 \le \frac{\pi}{2} - \lim_{x\to 0^{+}}h(x) \le \pi - 2\arctan(A). \] En faisant tendre $A \to +\infty$, on a : \[ 0 \le \frac{\pi}{2} - \lim_{x\to 0^{+}}h(x) \le 0. \] Par encadrement, on déduit \[ \lim_{x\to 0^{+}}h(x)=\frac{\pi}{2}. \]
1. On définit sur $U = \mathbb{R}^{2}\setminus\{\,(0,0)\}$ la fonction $\Phi$ par
  $$ \Phi(x, t) \;=\; \frac{x}{x^{2} + t^{2}}. $$
  Calculer, pour $(x,t)\in U,\; \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}(x,t) \;+\; \frac{\partial^2 \Phi}{\partial t^2}(x,t).$
  
  Posons $s=x^{2}+t^{2}$. On a $\forall (x,t) \in U$ : \[ \frac{\partial \Phi}{\partial x}=\frac{s-2x^{2}}{s^{2}}=\frac{t^{2}-x^{2}}{s^{2}}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial t}=-\frac{2xt}{s^{2}}. \] Puis \[ \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x^{2}} =\frac{-2x(x^{2}+t^{2})^{2}-4x(t^{2}-x^{2})(x^{2}+t^{2})}{s^{4}} = \frac{-2x}{s^{3}}(3t^{2}-x^{2}), \] \[ \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}} =\frac{-2x(x^{2}+t^{2})^{2}+8xt^{2}(x^{2}+t^{2})}{s^{4}} = \frac{-2x}{s^{3}}(x^{2}-3t^{2}). \] En sommant, \[ \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}} =\frac{-2x}{s^{3}}\bigl(3t^{2}-x^{2}+x^{2}-3t^{2}\bigr)=0. \] Ainsi, $\Phi$ est harmonique sur $U$.
2. En déduire que, pour tout $x \in J,\; h''(x) = h(x)$.
  
  On remarque que $\forall x \in J$, par intégration par parties : \[ \begin{aligned} h(x) &= \int_{0}^{+\infty}\cos(t)\,\Phi(x,t)\,\mathrm dt \\ &= \Big[\sin(t)\,\Phi(x,t)\Big]_{0}^{+\infty} - \int_{0}^{+\infty}\sin(t)\,\frac{\partial \Phi}{\partial t}(x,t)\,\mathrm dt \\ &= -\int_{0}^{+\infty}\sin(t)\,\frac{\partial \Phi}{\partial t}(x,t)\,\mathrm dt \\ &= \Big[\cos(t)\,\frac{\partial \Phi}{\partial t}(x,t)\Big]_{0}^{+\infty} - \int_{0}^{+\infty}\cos(t)\,\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}}(x,t)\,\mathrm dt \\ &= -\int_{0}^{+\infty}\cos(t)\,\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}}(x,t)\,\mathrm dt. \end{aligned} \] Par ailleurs, on peut dériver sous le signe intégral (les conditions de régularité et de domination étant satisfaites) : \[ h''(x)=\int_{0}^{+\infty}\cos(t)\,\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x^{2}}(x,t)\,\mathrm dt. \] On en déduit alors que $\forall x \in J$ : \[ \begin{aligned} h''(x)-h(x) &= \int_{0}^{+\infty}\cos(t)\,\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x^{2}}(x,t)\,\mathrm dt + \int_{0}^{+\infty}\cos(t)\,\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}}(x,t)\,\mathrm dt \\ &= \int_{0}^{+\infty}\cos(t)\left[\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial x^{2}}(x,t) + \frac{\partial^{2} \Phi}{\partial t^{2}}(x,t)\right]\mathrm dt \\ &= 0. \end{aligned} \] On a donc bien $\forall x \in J$ : $h''(x)=h(x)$.
On pose, pour tout $x \in J,\; k(x)=e^{-2x}\bigl(e^{x}h(x)\bigr)'$.
1. Calculer $k'(x)$.
  
  On a $(e^{x}h(x))'=e^{x}(h'(x)+h(x))$, donc \[ k(x)=e^{-2x}\cdot e^{x}\,(h'+h)=e^{-x}(h'+h). \] Ainsi \[ \begin{aligned} k'(x) &= -e^{-x}(h'+h)+e^{-x}(h''+h') \\ &= e^{-x}\bigl(h''-h\bigr) \\ &= 0, \end{aligned} \] d'après (4b).
2. En déduire que, pour tout $x \in J,\; h(x)=\frac{\pi}{2}\, e^{-x}$.
  
  D'après (a), $k'(x)=0$, donc $k$ est constante sur $J$. Il existe $c\in\mathbb R$ tel que $\forall x \in J$ : \[ e^{-2x}\bigl(e^{x}h(x)\bigr)'=c \quad\Longrightarrow\quad \bigl(e^{x}h(x)\bigr)'=c\,e^{2x}. \] En intégrant, il existe $d\in\mathbb R$ tel que \[ e^{x}h(x)=\frac{c}{2}e^{2x}+d \quad\Longleftrightarrow\quad h(x)=\frac{c}{2}e^{x}+d\,e^{-x}. \] Or, d'après (2c), $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}h(x)=0$, donc nécessairement $c=0$, d'où $h(x)=d\,e^{-x}$.
  Puis, d'après (3d), $\displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}h(x)=\dfrac{\pi}{2}$, ce qui impose $d=\dfrac{\pi}{2}$. Par suite, \[ \boxed{\;h(x)=\dfrac{\pi}{2}\,e^{-x}\;}\qquad (x>0). \]

Exercice 2

On désigne par $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on considère l'espace vectoriel $E_{n} = \mathbb{R}_{n}[X]$ des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$, dont la base canonique est $\mathcal{B} = (1, X, \ldots, X^n)$.

On pose, pour tout couple $(P,Q)$ d'éléments de $\bigl(\mathbb{R}_{n}[X]\bigr)^2$:
$$ \langle P,Q\rangle \;=\;\int_{-1}^{1} P(t)\,Q(t)\,\mathrm{d}t. $$
Montrer que $\langle \,\cdot\,,\,\cdot\,\rangle$ est un produit scalaire.

On montre que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ définit un produit scalaire :

• Bilinéarité : $\forall P, Q, R \in \mathbb{R}_{n}[X]$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$, on a : \[ \begin{aligned} \langle \lambda P + Q, R \rangle &= \int_{-1}^{1}(\lambda P(t)+Q(t))R(t)\,\mathrm{d}t \\ &= \lambda \int_{-1}^{1}P(t)R(t)\,\mathrm{d}t + \int_{-1}^{1}Q(t)R(t)\,\mathrm{d}t \\ &= \lambda\langle P, R\rangle + \langle Q, R\rangle. \end{aligned} \] • Symétrie : $\forall P, Q \in \mathbb{R}_{n}[X]$, on a : \[ \langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,\mathrm{d}t = \int_{-1}^{1}Q(t)P(t)\,\mathrm{d}t = \langle Q, P \rangle. \] • Positivité : $\forall P \in \mathbb{R}_{n}[X]$, on a : \[ \langle P, P \rangle = \int_{-1}^{1}P(t)^{2}\,\mathrm{d}t \ge 0. \] • Définie : $\forall P \in \mathbb{R}_{n}[X]$, si $\langle P, P \rangle = 0$, alors $\int_{-1}^{1}P(t)^{2}\,\mathrm{d}t = 0$. Comme $P^2$ est continue et positive, on a $P(t)=0$ pour tout $t \in [-1,1]$, donc $P = 0$ (un polynôme ayant une infinité de racines est nul).

On conclut que $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est bien un produit scalaire.
On pose, pour tout couple de réels $(x,y)$:
$$ f(x,y) \;=\; \int_{-1}^{1}\bigl(t^4 - x\,t - y\bigr)^2 \,\mathrm{d}t. $$
1. Justifier l'existence d'un unique couple de réels $\bigl(x_0, y_0\bigr)$ tel que $f(x_0, y_0)=\displaystyle\inf_{(x,y)\in \mathbb{R}^2} f(x,y)$.
  
  Soit $g:(x,y,t) \mapsto (t^{4}-xt-y)^{2}$. Les dérivées partielles $\frac{\partial g}{\partial x}$ et $\frac{\partial g}{\partial y}$ existent et sont continues. On peut donc utiliser la dérivation sous le signe intégral et on a : \[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \int_{-1}^{1}-2t(t^{4}-xt-y)\,\mathrm{d}t, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \int_{-1}^{1}-2(t^{4}-xt-y)\,\mathrm{d}t. \] En dérivant de nouveau sous le signe intégral : \[ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(x,y) = \int_{-1}^{1}2t^{2}\,\mathrm{d}t = \frac{4}{3}, \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(x,y) = \int_{-1}^{1}2\,\mathrm{d}t = 4, \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(x,y) = \int_{-1}^{1}2t\,\mathrm{d}t = 0. \] La matrice hessienne de $f$ est donc donnée par : \[ \forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2} : \quad H_f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{4}{3} & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}. \] On a $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ : $H_f(x,y)$ est définie positive. La fonction $f$ est donc strictement convexe sur $\mathbb{R}^{2}$.
  Dès lors, il existe un unique $(x_0, y_0)$ tel que $f(x_0, y_0) = \inf_{(x,y) \in \mathbb{R}^{2}} f(x,y)$.
2. Déterminer $\bigl(x_0, y_0\bigr)$.
  
  Par la condition du premier ordre, ce minimum est atteint quand $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0$.
  On a $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ : \[ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= \int_{-1}^{1}-2t^{5}+2xt^{2}+2yt\,\mathrm{d}t \\ &= \left[-\frac{t^{6}}{3}+\frac{2x t^{3}}{3}+yt^{2}\right]_{-1}^{1} \\ &= -\frac{1}{3}+\frac{2x}{3}+y+\frac{1}{3}+\frac{2x}{3}-y = \frac{4x}{3}, \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= \int_{-1}^{1}-2t^{4}+2xt+2y\,\mathrm{d}t \\ &= \left[-\frac{2t^{5}}{5}+xt^{2}+2yt\right]_{-1}^{1} \\ &= -\frac{2}{5}+x+2y+\frac{2}{5}-x+2y = 4y - \frac{4}{5}. \end{aligned} \] Donc : \[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0 \Leftrightarrow x=0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0 \Leftrightarrow y=\frac{1}{5}. \] On en déduit : $\boxed{x_0 = 0 \text{ et } y_0 = \frac{1}{5}}$.
Soit $A$ un élément de $E_{n}$. On définit l'application $S_{A}$ de $E_{n}$ dans $\mathbb{R}$ par :
$$ S_{A}: \quad E_{n} \longrightarrow \mathbb{R},\quad Q \longmapsto \langle A,\, Q\rangle. $$
Montrer que l'application $h: A \longmapsto S_{A}$ (de $E_{n}$ vers $\mathcal{L}(E_{n}, \mathbb{R})$) est un isomorphisme d'espaces vectoriels.

On sait que $\mathcal{B} = \{1, X, X^{2}, \ldots, X^{n}\}$ est une base de $E_{n}$.
Considérons la famille $\mathcal{E} = \{S_{1}, S_{X}, S_{X^{2}}, \ldots, S_{X^{n}}\}$. On remarque que :

• $\mathcal{E}$ est de cardinal $n+1$ et $\dim \mathcal{L}(E_{n}, \mathbb{R}) = \dim(E_{n}) \times \dim(\mathbb{R}) = n+1$.

• Liberté : Soient $\lambda_{0}, \ldots, \lambda_{n} \in \mathbb{R}$ tels que $\sum_{k=0}^{n}\lambda_{k}S_{X^{k}} = 0$. On a alors $\forall Q \in E_{n}$ : \[ \sum_{k=0}^{n}\lambda_{k}S_{X^{k}}(Q) = 0 \Rightarrow \sum_{k=0}^{n}\lambda_{k}\langle X^{k}, Q\rangle = 0 \Rightarrow \left\langle \sum_{k=0}^{n}\lambda_{k}X^{k}, Q \right\rangle = 0. \] En prenant $Q = \sum_{k=0}^{n}\lambda_{k}X^{k}$, on obtient : \[ \left\langle \sum_{k=0}^{n}\lambda_{k}X^{k}, \sum_{k=0}^{n}\lambda_{k}X^{k} \right\rangle = 0. \] Comme $\langle \cdot, \cdot \rangle$ est un produit scalaire, on a nécessairement $\sum_{k=0}^{n}\lambda_{k}X^{k} = 0$, d'où $\forall k = 0, \ldots, n$ : $\lambda_{k} = 0$. La famille $\mathcal{E}$ est donc libre.

La famille $\mathcal{E}$ est une famille libre de cardinal maximal dans $\mathcal{L}(E_{n}, \mathbb{R})$, c'est donc une base.
On conclut que $h$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
On définit l'application $\Phi$ par :
$$ \Phi: E_{n}\times E_{n}\;\longrightarrow\;\mathbb{R},\quad (P,Q)\;\longmapsto\;\int_{-1}^{1} t\,P(t)\,Q(t)\,\mathrm{d}t. $$
Montrer que $\Phi$ est une forme bilinéaire symétrique sur $E_{n}$. Est-ce un produit scalaire sur $E_{n}$?

On a clairement :

• $\forall (P, Q) \in E_{n} \times E_{n}$ : $\Phi(P, Q) \in \mathbb{R}$.

• Symétrie : $\forall (P, Q) \in E_{n} \times E_{n}$ : \[ \Phi(P, Q) = \int_{-1}^{1}tP(t)Q(t)\,\mathrm{d}t = \int_{-1}^{1}tQ(t)P(t)\,\mathrm{d}t = \Phi(Q, P). \] • Bilinéarité : $\forall (P, Q, R) \in E_{n} \times E_{n} \times E_{n}$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ : \[ \begin{aligned} \Phi(\lambda P + Q, R) &= \int_{-1}^{1}t(\lambda P + Q)(t)R(t)\,\mathrm{d}t \\ &= \int_{-1}^{1}\lambda tP(t)R(t) + tQ(t)R(t)\,\mathrm{d}t \\ &= \lambda\Phi(P, R) + \Phi(Q, R). \end{aligned} \] On en déduit que $\Phi$ est bien une forme bilinéaire symétrique sur $E_{n}$.

En revanche, en prenant $P : t \mapsto 1$, on a : \[ \Phi(P, P) = \int_{-1}^{1}t\,\mathrm{d}t = 0. \] Or $P \neq 0_{E_{n}}$, donc $\Phi$ n'est pas définie positive. On en déduit que $\Phi$ n'est pas un produit scalaire sur $E_{n}$.
Montrer qu'il existe un unique polynôme $A \in E_{n}$, dépendant de $P$, tel que: \[ \forall Q \in E_{n},\quad \Phi(P,Q) \;=\;\langle A,\,Q\rangle. \]

On note alors $\varphi$ l'application de $E_{n}$ dans lui-même, définie par $\varphi(P)=A$. On a donc $\forall(P,Q)\in E_{n}^2, \;\Phi(P,Q)=\langle\varphi(P),\,Q\rangle$.

On a vu que l'application $h : A \mapsto S_{A}$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels. En particulier, elle est surjective.
Dès lors, $\forall S \in \mathcal{L}(E_{n}, \mathbb{R})$, $\exists!\, A \in E_{n}$ tel que : \[ \forall Q \in E_{n} : S(Q) = \langle A, Q \rangle. \] Or, ici, pour $P$ fixé, l'application $Q \mapsto \Phi(P, Q)$ est une forme linéaire sur $E_{n}$ (par bilinéarité de $\Phi$). On en déduit : \[ \forall P \in E_{n}, \;\exists!\, A \in E_{n} \text{ tel que } \forall Q \in E_{n} : \Phi(P, Q) = \langle A, Q \rangle. \]
1. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E_{n}$.
  
  $\varphi$ est une application de $E_{n}$ dans lui-même. Il suffit donc de montrer la linéarité.
  Soient $P_{1}, P_{2} \in E_{n}$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. Par la question 5, il existe $A_{1}, A_{2} \in E_{n}$ tels que : \[ \forall Q \in E_{n} : \Phi(P_{1}, Q) = \langle A_{1}, Q \rangle \text{ et } \Phi(P_{2}, Q) = \langle A_{2}, Q \rangle. \] On a alors $\varphi(P_{1}) = A_{1}$ et $\varphi(P_{2}) = A_{2}$.
  Or, on a aussi : \[ \begin{aligned} \Phi(\lambda P_{1} + P_{2}, Q) &= \lambda\Phi(P_{1}, Q) + \Phi(P_{2}, Q) \\ &= \lambda\langle A_{1}, Q \rangle + \langle A_{2}, Q \rangle \\ &= \langle \lambda A_{1} + A_{2}, Q \rangle. \end{aligned} \] Par unicité, on en déduit que $\varphi(\lambda P_{1} + P_{2}) = \lambda A_{1} + A_{2} = \lambda\varphi(P_{1}) + \varphi(P_{2})$.
  On en déduit que $\varphi$ est bien un endomorphisme de $E_{n}$.
2. Montrer que, pour tout polynôme $P$ de $E_{n}$ avec $\deg P \leqslant n-1,\; \varphi(P)=X\,P$.
  
  Pour tout polynôme $P$ de $E_{n}$ tel que $\deg P \le n-1$, on a $\deg(XP) \le n$, donc $XP \in E_{n}$.
  On a alors $\forall Q \in E_{n}$ : \[ \Phi(P, Q) = \int_{-1}^{1}tP(t)Q(t)\,\mathrm{d}t = \langle XP, Q \rangle. \] Par unicité, on en déduit que $\varphi(P) = XP$.
On suppose, dans cette question, que $n=2$.
1. Donner la matrice de $\varphi$ dans la base canonique de $E_{2}$.
  
  On remarque qu'avec $n=2$ :
  • $\varphi(1) = X$ (d'après 6b).
  • $\varphi(X) = X^{2}$ (d'après 6b).
  • Pour $\varphi(X^{2})$, notons $Q : t \mapsto at^{2}+bt+c$. On a : \[ \begin{aligned} \Phi(X^{2}, Q) &= \int_{-1}^{1}t \cdot t^{2}(at^{2}+bt+c)\,\mathrm{d}t \\ &= \int_{-1}^{1}at^{5}+bt^{4}+ct^{3}\,\mathrm{d}t \\ &= \left[\frac{at^{6}}{6}+\frac{bt^{5}}{5}+\frac{ct^{4}}{4}\right]_{-1}^{1} = \frac{2b}{5}. \end{aligned} \] De même : \[ \begin{aligned} \langle eX, aX^{2}+bX+c \rangle &= \int_{-1}^{1}et(at^{2}+bt+c)\,\mathrm{d}t \\ &= \int_{-1}^{1}eat^{3}+ebt^{2}+ect\,\mathrm{d}t \\ &= \left[\frac{eat^{4}}{4}+\frac{ebt^{3}}{3}+\frac{ect^{2}}{2}\right]_{-1}^{1} = \frac{2eb}{3}. \end{aligned} \] En prenant $e = \frac{3}{5}$, on a bien $\forall Q \in E_{2}$ : $\Phi(X^{2}, Q) = \langle \frac{3}{5}X, Q \rangle$, donc $\varphi(X^{2}) = \frac{3}{5}X$.
  
  La matrice de $\varphi$ dans la base canonique de $E_{2}$ est : \[ \boxed{M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}} \]
2. Donner les valeurs propres de $\varphi$.
  
  On a $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ : \[ M - \lambda I_{3} = \begin{pmatrix} -\lambda & 0 & 0 \\ 1 & -\lambda & \frac{3}{5} \\ 0 & 1 & -\lambda \end{pmatrix}. \] Donc : \[ \det(M - \lambda I_{3}) = -\lambda\left(\lambda^{2} - \frac{3}{5}\right) = -\lambda\left(\lambda - \sqrt{\frac{3}{5}}\right)\left(\lambda + \sqrt{\frac{3}{5}}\right). \] On en déduit que le spectre de $\varphi$ est : \[ \boxed{\mathrm{Sp}(\varphi) = \left\{-\sqrt{\frac{3}{5}},\; 0,\; \sqrt{\frac{3}{5}}\right\}} \]

Partie 2 — Probabilités et statistiques

Exercice 3

Soit $X$ une variable aléatoire à densité, dont une densité $f$ est nulle sur $\mathbb{R}_{-}$ et continue sur $\mathbb{R}_{+}$. On note $F$ la fonction de répartition de $X$.
1. Établir, pour tout réel $x$ positif, l'égalité suivante :
  $$ \int_{0}^{x} t\,f(t)\,\mathrm{d}t \;=\; \int_{0}^{x}\bigl[\,1 - F(t)\bigr]\mathrm{d}t \;-\; x\,\mathbb{P}(X > x). $$
  ...
2. On suppose que l'intégrale $\int_{0}^{+\infty}\bigl[\,1 - F(t)\bigr]\mathrm{d}t$ est convergente. Montrer que $X$ admet une espérance mathématique et établir l'égalité suivante :
  $$ \mathbb{E}(X) \;=\;\int_{0}^{+\infty}\bigl[\,1 - F(t)\bigr]\mathrm{d}t. $$
  ...
On considère une suite de variables aléatoires $\bigl(X_{n}\bigr)_{n \in \mathbb{N}^{*}}$, définies sur le même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$, mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda>0$).

Pour tout $n \in \mathbb{N}^{*}$, on pose $S_{n} = \max\bigl(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\bigr)$.
$$ \forall \omega \in \Omega,\quad S_{n}(\omega) = \max\bigl(X_{1}(\omega), X_{2}(\omega),\ldots, X_{n}(\omega)\bigr). $$
1. (i) Déterminer la fonction de répartition $F_{n}$ de $S_{n}$.
  (ii) En déduire que $S_{n}$ est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité $f_{n}$ de $S_{n}$.
  
  ...
2. (i) On pose, pour tout entier $n \ge 1$:
  $$ J_{n} \;=\; \int_{0}^{+\infty}\bigl[\,1 - F_{n}(t)\bigr]\mathrm{d}t. $$
  1. Montrer que l'intégrale $J_{n}$ est convergente.
    
    ...
  2. En déduire que $S_{n}$ admet une espérance mathématique.
    
    ...
On se propose de trouver une expression simple de $\mathbb{E}\bigl(S_{n}\bigr)$ et un équivalent de $\mathbb{E}\bigl(S_{n}\bigr)$ quand $n \to +\infty$. Pour tout $n \ge 1$, on pose $T_{n} = \sum_{j=1}^{n} \dfrac{X_{j}}{j}$.
1. Déterminer une densité de la variable aléatoire $\dfrac{X_{n+1}}{n+1}$.
  
  ...
2. Montrer que, pour tout $n \ge 1,\; f_{n}$ est une densité de $T_{n}$.
  
  ...
3. En déduire l'expression de $\mathbb{E}\bigl(S_{n}\bigr)$ et un équivalent de $\mathbb{E}\bigl(S_{n}\bigr)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
  
  ...

Exercice 4

On dit qu'une variable aléatoire $Z$ à valeurs strictement positives suit une loi lognormale si la variable aléatoire $\ln Z$ suit une loi normale.

Soit $Z_{1}$ une variable aléatoire à valeurs strictement positives, telle que $X_{1} = \ln Z_{1}$ suive la loi normale centrée réduite.
1. Donner la densité de $Z_{1}$.
  
  ...
2. Calculer, pour tout réel $s$, $\mathbb{E}\bigl(e^{sX_{1}}\bigr)$.
  
  ...
3. En déduire que $\mathbb{E}\bigl(Z_{1}\bigr) = e^{\tfrac12}$.
  
  ...
Soit $Z_{2}$ une variable aléatoire à valeurs strictement positives telle que $X_{2}=\ln Z_{2}$ suive la loi normale $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$. Calculer, en utilisant les résultats de la première question, $\mathbb{E}\bigl(Z_{2}\bigr)$ et $\mathrm{Var}\bigl(Z_{2}\bigr)$.

On considère dorénavant une suite de variables aléatoires $\bigl(Y_{n}\bigr)_{n\ge1}$, à valeurs strictement positives, indépendantes, suivant toutes la même loi lognormale, associées aux variables $X_{i}=\ln Y_{i}$, où chaque $X_{i}$ suit la loi $\mathcal{N}(m,\sigma^{2})$. On notera génériquement $\mathbb{E}(Y)$ et $\mathrm{Var}(Y)$ l'espérance et la variance de ces variables.

On pose, pour tout $n\ge1$:
$$ \overline{Y_{n}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_{i} \quad\text{et}\quad \overline{X_{n}} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}. $$
1. Proposer un estimateur convergent de $\mathbb{E}(Y)$, obtenu à partir des $Y_{i}$.
  
  ...
2. Calculer la variance de cet estimateur, en fonction de $m$ et de $\sigma^{2}$.
  
  ...
On suppose, dans les questions suivantes 4, 5 et 6, que $\sigma^2$ est connu : $\sigma^2 = \sigma_{0}^2$.
1. Proposer un estimateur convergent de $m$ obtenu à partir des $X_{i}$.
  
  ...
2. En déduire un nouvel estimateur convergent de $\mathbb{E}(Y)$, fonction de $\overline{X_{n}}$ et de $\sigma_{0}^2$.
  
  ...
3. Cet estimateur est-il sans biais ?
  
  ...
Comparer, pour $n$ grand, selon leurs variances, les deux estimateurs de $\mathbb{E}(Y)$ obtenus en 3.(a) et en 4.(b). On pourra effectuer des développements limités des variances considérées en puissances de $\tfrac1n$.

...
On note $T_{1,n}$ l'estimateur de $\mathbb{E}(Y)$ obtenu en 3.(a) et $T_{2,n}$ celui obtenu en 4.(b). On cherche à construire un estimateur convergent de $\mathbb{E}(Y)$, combinaison linéaire de $T_{1,n}$ et $T_{2,n}$ et de variance minimale. Un tel estimateur sera donc de la forme :
$$ T_{n} \;=\;\lambda_{1} T_{1,n} \;+\;\lambda_{2} T_{2,n}. $$
1. En raisonnant sur les moments de $T_{1,n}$ et $T_{2,n}$, sans chercher à les expliciter à ce stade, montrer que la solution optimale de ce problème conduit à prendre, pour valeur de $\lambda_{1}$, le réel $\tilde{\lambda}_{1}$ défini par :
  $$ \tilde{\lambda}_{1} \;=\; \frac{\mathrm{Cov}\bigl(T_{2,n}-T_{1,n},\,T_{2,n}\bigr)} {\mathrm{Var}\bigl(T_{2,n}-T_{1,n}\bigr)}. $$
  ...
2. Pour tout $i$ fixé, calculer $\mathrm{Cov}\bigl(Y_{i},\,e^{\overline{X_{n}}}\bigr)$.
  
  ...
3. En déduire l'expression explicite de l'estimateur optimal obtenu.
  
  ...
4. Que devient cette expression pour $n$ assez grand ?
  (On effectuera à nouveau des développements limités des variances considérées en puissances de $1/n$.)
  
  ...
On revient au cas où $\sigma^2$ est inconnu. Proposer un estimateur convergent de $\sigma^2$, s'exprimant comme fonction, à la fois, de $\overline{X_{n}}$ et de $\overline{Y_{n}}$. Connaissez-vous d'autres estimateurs de la variance dans un échantillon normal ?

...