Concours externe d'administrat·eur·rice de l'Insee — 1998

Épreuve de mathématiques

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Problème I

Notations :

Pour deux entiers naturels $ p $ et $ q \geqslant p $, on note $\llbracket p, q \rrbracket = [p,q] \cap \mathbb{N}$, c’est-à-dire l’ensemble des entiers naturels compris, au sens large, entre $ p $ et $ q $.

Partie A

Soit $ P $ une probabilité et $ X $ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb{N}^{*}$.

Montrer que pour tout $ n \in \mathbb{N}^{\*} $ : $$ \sum_{k=1}^{n} k\,P(X=k) \;=\; \left( \sum_{k=0}^{n-1} P(X>k) \right) - n\,P(X>n). $$
On suppose que $$ \lim_{n\to\infty} \big[n\,P(X>n)\big] = 0 $$ et que la série de terme général $ u_k = P(X>k) $ converge. Montrer que $ X $ admet une espérance et que $$ \mathbb{E}(X) \;=\; \sum_{k=0}^{+\infty} P(X>k). $$
Réciproquement, on suppose que $ X $ admet une espérance. Montrer que $$ \lim_{n\to\infty} \big[n\,P(X>n)\big] = 0, $$ et en déduire $$ \mathbb{E}(X) \;=\; \sum_{k=0}^{+\infty} P(X>k). $$

Partie B

On joue avec une « machine à sous » qui comporte $ N $ fenêtres ($ N\in\mathbb{N},\, N\ge 2$). La machine peut afficher dans chaque fenêtre, de façon indépendante et au hasard, un symbole parmi plusieurs possibles, dont un symbole appelé « joker », qui est affiché avec une probabilité $ p\in]0,1[ $. On note $ q=1-p $.

Au départ du jeu toutes les fenêtres de la machine sont vides. À la première partie, la machine affiche au hasard un symbole dans chaque fenêtre. À chaque partie suivante, la machine laisse les jokers déjà apparus et affiche au hasard un symbole dans les autres fenêtres. On gagne si et seulement si la machine affiche un joker dans chaque fenêtre.

On désigne par $ S_N $ la variable aléatoire du nombre de parties nécessaires pour gagner.

1. Pour tout $ i \in \llbracket 1, N \rrbracket $, on note $ X_i $ la variable aléatoire du nombre de parties nécessaires pour que la machine affiche (pour la première fois) un joker dans la fenêtre numéro $ i $. Déterminer la loi de probabilité de $ X_i $.
2. Soit $ n\in\mathbb{N}^{\*} $. En déduire que la probabilité de gagner en au plus $ n $ parties est $ \big(1-q^{n}\big)^{N} $.
3. Si le nombre de parties n’est pas limité, est-on sûr de gagner ?
Justifier que, pour tout $ k\in\mathbb{N}^{\*} $, $$ \frac{1}{k+1} \le \int_{k}^{k+1} \frac{\mathrm{d}t}{t} \le \frac{1}{k}, $$ et en déduire que, pour $ N\to +\infty $, $$ \sigma_N = \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k} \sim \ln N. $$ Soit ensuite la fonction définie par $ f(x) = 1 - \big(1-q^{x}\big)^{N} $.
1. Étudier brièvement $ f $ sur $ \mathbb{R}_{+} $.
2. Déterminer un équivalent de $ f(x) $ pour $ x\to +\infty $. En déduire la nature de la série de terme général $ f(k) $, $ k\in\mathbb{N} $.
3. Montrer que $ \displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x $ converge et calculer sa valeur.
1. Justifier que $ S_N $ admet une espérance, notée $ \mathbb{E}(S_N) $, et montrer que $$ \int_{0}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x \;\le\; \mathbb{E}(S_N) \;\le\; 1 + \int_{0}^{+\infty} f(x)\,\mathrm{d}x. $$ (On pourra utiliser la partie A.)
2. En déduire que, pour $ N\to +\infty $, $$ \mathbb{E}(S_N) \sim -\frac{\ln N}{\ln q}. $$
3. Dans cette question, on suppose qu’il y a autant de symboles différents que de fenêtres et que, dans chaque fenêtre, chaque symbole a la même probabilité d’apparition. Quelle est la limite de $ \mathbb{E}(S_N) $ pour $ N\to +\infty $ dans ce cas ?

Problème II

Rappels et notations :

Pour toute matrice $ A=(a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}) $, on désigne par $ {}^{t}\!A $ la matrice de $ \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R}) $ dont le terme d’indice $ (i,j) $ vaut $ a_{ji} $.
Deux matrices $ A $ et $ A' $ de $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ sont dites semblables s’il existe une matrice inversible $ P \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ telle que $ A' = P^{-1} A P $.
Théorème du rang. Soient $ E $ et $ F $ deux espaces vectoriels de dimension finie et $ \varphi \in \mathcal{L}(E,F) $. Alors $$ \dim E \;=\; \dim(\ker \varphi) + \dim(\operatorname{Im} \varphi). $$
On dit que la somme de deux sous-espaces vectoriels $ F $ et $ G $ d’un espace vectoriel $ E $ est directe lorsque $ F\cap G=\{0\} $ et on note alors $ F\oplus G $ le sous-espace somme $ F+G $.
Pour tout $ k\in\mathbb{N}^{\*} $, l’espace vectoriel $ \mathbb{R}^k $ est rapporté à sa base canonique, notée $ \mathcal{B}_k $.
À un vecteur $ x\in\mathbb{R}^k $ de coordonnées $ (x_1,\ldots,x_k) $ dans la base $ \mathcal{B}_k $, on associe la matrice colonne $ X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_k \end{pmatrix} $.
À deux vecteurs $ x $ et $ y $ de $ \mathbb{R}^k $ de coordonnées respectives $ (x_1,\ldots,x_k) $ et $ (y_1,\ldots,y_k) $, on associe le réel $$ (x\mid y) = \sum_{i=1}^{k} x_i y_i. $$

Partie A

1. Vérifier que si $ X $ et $ Y $ sont les matrices colonne associées aux vecteurs $ x $ et $ y $ de $ \mathbb{R}^k $, $$ {}^{t}\!X\,Y = (x\mid y) = (y\mid x) = {}^{t}\!Y\,X. $$ Que dire d’un vecteur $ x\in\mathbb{R}^k $ tel que $ (x\mid x)=0 $ ?
2. Montrer que pour tous vecteurs $ x,x',y $ de $ \mathbb{R}^k $ et tout scalaire $ \lambda\in\mathbb{R} $, on a $$ \big((x+\lambda x') \mid y\big) = (x\mid y) + \lambda\,(x'\mid y). $$
Soit $ F $ un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^k $. On considère l’ensemble $$ F^{\perp} = \{\, x\in\mathbb{R}^k \;|\; (\forall y\in F)\ (x\mid y)=0 \,\}. $$
1. Vérifier que $ F^{\perp} $ est un sous-espace vectoriel de $ \mathbb{R}^k $.
2. Montrer que $ F \cap F^{\perp} = \{0\} $.
1. Soit $ p $ la dimension du sous-espace $ F\oplus F^{\perp} $ et $ (f_1,\ldots,f_p) $ une base de $ F\oplus F^{\perp} $. On considère l’application $$ \Phi:\ \mathbb{R}^k \longrightarrow \mathbb{R}^p,\qquad x \longmapsto \big( (x\mid f_1),\ldots,(x\mid f_p) \big). $$ Soit $ x\in\ker \Phi $. Montrer que $ x\in F^{\perp} $. En déduire que $ x=0 $ (on pourra calculer $ (x\mid x) $). <p style="border: none; border-radius: 0; background-color:rgba(152, 180, 212, .12); padding: 10px; margin: 15px 0 15px -60px;"