Concours externe d'administrat·eur·rice de l'Insee — 2000

Épreuve de mathématiques

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Problème 1

\(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) désigne l’espace vectoriel des matrices carrées de taille 2 à coefficients réels.

    1. Montrer que l’ensemble $$ \mathcal{C}=\left\{M(a,b)=\begin{pmatrix} a & -b \\[2pt] b & a \end{pmatrix},\ (a,b)\in\mathbb{R}^2\right\} $$ est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\). Préciser sa dimension et en donner une base.

       

    2. On considère l’application $$ \Phi:\ \mathbb{C}\longrightarrow\mathcal{C},\qquad z=a+ib\longmapsto M(a,b)=\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix}, $$ où \(a\) et \(b\) désignent respectivement les parties réelle et imaginaire de \(z\).
      Montrer que, pour tous nombres complexes \(z\) et \(z'\) de \(\mathbb{C}\), $$ \Phi(z+z')=\Phi(z)+\Phi(z')\qquad\text{et}\qquad \Phi(zz')=\Phi(z)\,\Phi(z'). $$ En déduire que, pour tout \(z\in\mathbb{C}\) et tout \(p\in\mathbb{N}\), $$ \Phi\!\left(z^{p}\right)=\big[\Phi(z)\big]^{p}. $$

       

    3. L’application \(\Phi\) est-elle un isomorphisme d’espaces vectoriels ?

       

    1. Soit \(\theta\in[0,2\pi[\) et $$ A=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}. $$ Pour \(k\in\mathbb{N}\), calculer \(A^{k}\). Le résultat obtenu est-il encore valable pour \(k\in\mathbb{Z}\)\,?

       

    2. Soit \(p\in\mathbb{N}^{\ast}\). Déterminer une matrice \(M\in\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) telle que $$ M^{p}=J,\qquad J=\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}. $$

       

  3. On considère l’application $$ f:\ \mathbb{R}[X]\longrightarrow\mathbb{R}[X],\qquad P(X)\longmapsto (1+X^{2})\,P''(X)-2X\,P'(X). $$ Soit \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\) et \(E_{n}=\mathbb{R}_{n}[X]\) le sous-espace des polynômes de degré \(\le n\).
    1. Justifier que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\), la restriction \(f_{n}\) de \(f\) à \(E_{n}\) est un endomorphisme de \(E_{n}\).

       

    2. Déterminer le noyau de \(f_{n}\). Préciser sa dimension.

       

    3. Déterminer les valeurs propres de \(f_{n}\) et préciser leur multiplicité.

       

    4. L’endomorphisme \(f_{n}\) est-il diagonalisable ?

       

    5. Soit \(p\in\mathbb{N}^{\ast}\) un entier fixé. Déterminer un endomorphisme \(g_{n}\) de \(E_{n}\) tel que $$ g_{n}^{p}=f_{n}\qquad\text{(composition \(p\) fois)}. $$ (On pourra utiliser la question \(2^{\circ}\,\text{b)}\).)

       

Problème 2

Partie A

Pour \(x\in\mathbb{R}\), on pose $$ L(x)=\int_{0}^{+\infty} t^{x} e^{-t}\,\mathrm{d}t. $$

    1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(L\).

       

    2. Prouver que, pour tout \(x\in D\), \(L(x+1)=(x+1)\,L(x)\).

       

    3. Calculer \(L(n)\) pour \(n\in\mathbb{N}\).

       

  2. Prouver que, pour tous \(x>0\) et \(\alpha\in]0,1[\), $$ \int_{x(1-\alpha)}^{x(1+\alpha)} t^{x} e^{-t}\,\mathrm{d}t =\left(\frac{x}{e}\right)^{x}\!\int_{-\alpha x}^{+\alpha x}\!\left(1+\frac{u}{x}\right)^{x} e^{-u}\,\mathrm{d}u. $$

     

    1. Rappeler la valeur de l’intégrale \(I=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^{2}}\,\mathrm{d}t\).

       

    2. Soient \(\alpha>0\) et \(\beta>0\). Prouver que $$ \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi x}}\int_{-\alpha x}^{+\alpha x} e^{-\beta\,\frac{u^{2}}{2x}}\,\mathrm{d}u\right)=\frac{1}{\sqrt{\beta}}. $$

       

    1. Montrer que, pour tout \(\varepsilon\in]0,1]\), il existe \(\alpha_{0}\in]0,1[\) tel que, pour tout \(v\) vérifiant \(|v|<\alpha_{0}\), $$ -\frac{v^{2}}{2}(1+\varepsilon)\ \le\ \ln(1+v)-v\ \le\ -\frac{v^{2}}{2}(1-\varepsilon). $$

       

    2. Pour ces \(\varepsilon\) et \(\alpha_{0}\), en déduire que, pour \(x>0\) et \(u\) vérifiant \(|u|<\alpha_{0}x\), $$ e^{-\frac{u^{2}}{2x}(1+\varepsilon)}\ \le\ \left(1+\frac{u}{x}\right)^{x} e^{-u}\ \le\ e^{-\frac{u^{2}}{2x}(1-\varepsilon)}. $$

       

    1. Soient \(f,g_{1},g_{2}\) continues sur \(\mathbb{R}\), avec \(g_{1}(x)\le f(x)\le g_{2}(x)\) pour \(x>X_{0}\) et limites \(l_{1},l_{2}\) en \(+\infty\).
      Prouver que, pour tout \(\varepsilon>0\), il existe \(A\in\mathbb{R}\) tel que $$ (\forall x>A)\qquad l_{1}-\varepsilon\ \le\ f(x)\ \le\ l_{2}+\varepsilon. $$

       

    2. Prouver l’existence de \(h_{0}\in]0,1[\) tel que, pour tout \(h\) vérifiant \(|h|<h_{0}\), $$ \left|\frac{1}{\sqrt{1+h}}-1\right|\ \le\ |h|. $$

       

    3. Soit \(\varepsilon\in]0,h_{0}[\), \(\alpha_{0}\) associé comme en A.4.a) et \(\alpha\in]0,\alpha_{0}[\).
      Prouver qu’il existe \(B>0\) tel que, pour tout \(x>B\), $$ 1-2\varepsilon\ \le\ \frac{1}{\sqrt{2\pi x}}\int_{-\alpha x}^{+\alpha x}\left(1+\frac{u}{x}\right)^{x} e^{-u}\,\mathrm{d}u\ \le\ 1+2\varepsilon. $$ (On pourra utiliser entre autres A.3.b).)

       

Partie B

  1. Pour \(x>0\), on pose \(s(x)=\left(\dfrac{x}{e}\right)^{x}\sqrt{2\pi x}\).
    1. Pour \(x>0\), on note \(\psi_{x}(t)=t^{x}e^{-t}\). Étudier les variations de \(\psi_{x}\) sur \(\mathbb{R}^{+}\).

       

    2. Justifier que, pour tout \(\alpha\) vérifiant \(0<\alpha<1\), $$ 0<(1-\alpha)e^{\alpha}<1\quad\text{et}\quad 0<(1+\alpha)e^{-\alpha}<1. $$

       

    3. Prouver que, pour tout \(\alpha\) tel que \(0<\alpha<1\), $$ J_{1}(x)=\frac{1}{s(x)}\int_{0}^{x(1-\alpha)} t^{x}e^{-t}\,\mathrm{d}t $$ tend vers \(0\) lorsque \(x\to+\infty\). (On pourra utiliser les variations de \(\psi_{x}\) sur \([0,x(1-\alpha)]\).)

       

    4. Prouver pareillement que, pour tout \(\alpha\) tel que \(0<\alpha<1\), $$ J_{2}(x)=\frac{1}{s(x)}\int_{x(1+\alpha)}^{+\infty} \frac{t^{x+2}e^{-t}}{t^{2}}\,\mathrm{d}t $$ tend vers \(0\) lorsque \(x\to+\infty\).

       

    1. Montrer enfin que, pour \(x\to+\infty\), $$ L(x)\ \sim\ \left(\frac{x}{e}\right)^{x}\sqrt{2\pi x}. $$

       

    2. En déduire un équivalent de \(n!\).