Concours externe d'administrat·eur·rice de l'Insee — 1999

Épreuve de mathématiques

Le sujet est accessible ici au format PDF.

Les propositions de corrections présentées ci-dessous n'engagent que l'auteur de ce site.

Problème 1

Notation. Pour deux entiers naturels $ p $ et $ q \ge p $, on note $ \llbracket p, q \rrbracket = [p, q] \cap \mathbb{N} $, c’est-à-dire l’ensemble des entiers naturels compris, au sens large, entre $ p $ et $ q $.

1. Pour tout entier $ k \in \mathbb{N}^\star $, établir la formule : $$ \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} = 2^{k}. $$ En déduire, pour $ N \in \mathbb{N}^\star $, la valeur de $$ \sum_{j=N+1}^{2N+1} \binom{2N+1}{j}. $$
2. Pour tous $ n \in \mathbb{N} $ avec $ n \ge 2 $, et $ r \in \mathbb{N} $, montrer que $$ \sum_{j=0}^{r} \binom{n-1+j}{n-1} = \binom{n+r}{n}. $$
1. Soient $ n,p $ des entiers avec $ 1 \le p \le n $. Rappeler le cardinal de l’ensemble $$ E=\{(q_1,\dots,q_p)\;|\;1\le q_1<\cdots<q_p\le n\} \subset \llbracket 1,n \rrbracket^p. $$ Soient $ r \in \llbracket 0, p-1 \rrbracket $ et $ k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket $. Déterminer le cardinal du sous-ensemble $ E_k \subset E $ constitué des suites strictement croissantes $ (q_1,\dots,q_p) $ pour lesquelles $ q_{r+1}=k+1 $.
  En déduire la formule : $$ \binom{n}{p} = \sum_{k=r}^{\,n-p+r} \binom{k}{r}\,\binom{n-k-1}{\,p-r-1}. $$
2. Déduire de ce qui précède, pour tout $ N \in \mathbb{N}^\star $, la formule sommatoire : $$ S_N=\sum_{k=0}^{N} \binom{2N-k}{N}\,2^{k} = 2^{2N}. $$
3. Retrouver la relation précédente par un raisonnement par récurrence.
Un amateur de bonbons se promène avec deux boîtes de cachous, une dans chaque poche. Initialement, chaque boîte contient le même nombre $ N \in \mathbb{N}^\star $ de bonbons. À chaque envie, il choisit une boîte au hasard (choix indépendants) et en tire un bonbon. On note $ X_N $ le nombre de bonbons restant dans l’autre boîte lorsqu’il se rend compte que l’une des boîtes est vide (cet événement se produit à la tentative suivant le dernier bonbon).
1. Déterminer la loi de $ X_N $.
  Vérifier qu’on obtient bien une loi de probabilité.
2. Établir, pour tout $ k \in \llbracket 0, N-1 \rrbracket $, $$ 2(N-k)\,\mathbf{P}(X_N=k)=(2N+1)\,\mathbf{P}(X_N=k+1)-(k+1)\,\mathbf{P}(X_N=k+1). $$ En déduire que $$ \mathbb{E}(X_N)=(2N+1)\,\mathbf{P}(X_N=0)-1. $$ En admettant $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\,\left(\frac{n}{e}\right)^{n} \quad (n\to +\infty), $$ montrer que $$ \mathbb{E}(X_N) \sim 2\sqrt{\frac{N}{\pi}} \quad (N\to +\infty). $$
3. On appelle $ Y_N $ le nombre de bonbons restant dans l’autre boîte lorsqu’une première boîte est vidée (et non lorsqu’on découvre qu’elle est vide). Déterminer la loi de $ Y_N $.
4. En déduire la probabilité $ p_N $ que la première boîte à être vidée n’est pas la première à être trouvée vide. Montrer que $$ p_{N}=\frac{\binom{2N-1}{N}}{2^{2N}}, $$ puis, à l’aide de l’équivalent précédent, $$ p_{N} \sim \frac{1}{2\sqrt{N}\,\pi} \quad (N\to +\infty). $$

Problème 2

Partie A

On considère $ E=\mathbb{R}_5[X] $, l’espace des polynômes de degré $\le 5$. On note $ E_1 $ l’ensemble des polynômes impairs de $E$ et $ E_2 $ l’ensemble des polynômes pairs de $E$. On désigne par $ e_k \ (0\le k\le 5) $ la base canonique avec $ e_k(X)=X^k $. Les bases canoniques de $E_1$ et $E_2$ sont respectivement $ \{e_1,e_3,e_5\} $ et $ \{e_0,e_2,e_4\} $.

Justifier que $ E_1 $ et $ E_2 $ sont supplémentaires dans $E$, c’est-à-dire $ E=E_1 \oplus E_2 $.
1. Montrer que l’application $ \sigma: E_2 \to E_2 $ définie par $$ \sigma(P)(X)=(X^2+1)P''(X)-X P'(X) $$ est un endomorphisme de $E_2$.
2. Donner la matrice de $ \sigma $ dans la base $ \{e_0,e_2,e_4\} $ de $E_2$.
3. Déterminer le noyau de $ \sigma $, ainsi que ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
4. $ \sigma $ est-il diagonalisable ?
1. Montrer que l’application $ s: E_2 \to E_2 $ définie par $$ s(P)(X)=(X^2-1)P''(X)+X P'(X) $$ est un endomorphisme de $E_2$.
2. Donner la matrice de $ s $ dans la base $ \{e_0,e_2,e_4\} $ de $E_2$.
3. Déterminer le noyau de $ s $, ainsi que ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
4. $ s $ est-il diagonalisable ?
On considère l’application $ P \mapsto 2X P(X) - P'(X) $ sur $E$.
1. Montrer que la restriction $ f $ de cette application à $E_2$ définit une application linéaire de $E_2$ dans $E_1$.
2. Déterminer la matrice de $ f $ dans les bases canoniques respectives de $E_2$ et $E_1$.
3. Montrer que $ f $ est un isomorphisme.

Partie B

Soit $E$ un espace vectoriel réel (pas nécessairement de dimension finie). On suppose $E=E_1 \oplus E_2$, avec $ s $ un endomorphisme de $E_2$ et $ f: E_2 \to E_1 $ une application linéaire bijective. Pour $ x=x_1+x_2 $ avec $ (x_1,x_2)\in E_1\times E_2 $, on définit $$ F(x)=f^{-1}(x_1)+f(x_2)+s(x_2). $$

1. Prouver que $ F $ est injective.
2. Prouver que $ F $ est surjective (sans supposer $E$ de dimension finie) et exprimer $ F^{-1}(y) $ pour $ y=y_1+y_2 $ avec $ (y_1,y_2)\in E_1\times E_2 $.
1. On suppose que $ F $ admet une valeur propre réelle $ \lambda $. Soit $ x\ne 0 $ un vecteur propre associé, écrit $ x=x_1+x_2 $. Prouver que $ x_1 $ et $ x_2 $ sont non nuls et que $ x_2 $ est vecteur propre de $ s $.
2. Réciproquement, si $ s $ admet une valeur propre réelle $ \mu $, prouver que $ F $ admet au moins une valeur propre réelle $ \lambda $. Déterminer un vecteur propre de $ F $ associé à $ \lambda $ en fonction d’un vecteur propre $ x_2 $ de $ s $ associé à $ \mu $.
3. Montrer que si $ u_1,\dots,u_k $ sont des vecteurs propres de $ s $, indépendants et associés à une même valeur propre $ \mu $, alors les vecteurs propres de $ F $ précédemment construits sont indépendants.
On suppose désormais $E$ de dimension finie et on pose $ n=\dim E_1 $.
1. Justifier que $ \dim E_1=\dim E_2=n $ et $ \dim E=2n $.
2. Si $ \mu_1,\dots,\mu_p $ sont les valeurs propres réelles distinctes de $ s $, prouver que $ F $ admet $ 2p $ valeurs propres réelles distinctes.
3. Montrer que si $ s $ est diagonalisable, alors $ F $ l’est aussi.

Partie C

On considère $ E=\mathbb{R}_5[X] $ et les applications $ s $ et $ f $ définies en Partie A. Déterminer les valeurs propres de l’application $ F $ correspondante (définie en Partie B).
On considère la matrice définie par blocs $$ A=\begin{pmatrix} 0 & I_3 \\ I_3 & B \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}, $$ où $ I_3 $ est la matrice identité d’ordre 3.
1. Donner les matrices des applications $ s $ et $ f $ permettant d’appliquer les résultats de la Partie B.
2. La matrice $ A $ est-elle diagonalisable ?