Concours externe d'administrat·eur·rice de l'Insee — 1995

Épreuve de mathématiques

Le sujet est accessible ici au format PDF.

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Problème 1

On note $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $ n $ à coefficients réels. Pour un vecteur $ x \neq 0 $ de $ \mathbb{R}^{n} $, on note $ \mathrm{Vect}(x) $ le sous-espace vectoriel engendré par $ x $. Soit $ A=\left(a_{ij}\right)_{1 \leq i,j \leq n} $ une matrice à coefficients réels. On nomme trace de $ A $ le scalaire :

\[\operatorname{Tr} A = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}.\]

1. Montrer que si $ A $ et $ B $ sont deux éléments de $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $, on a $ \operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA) $.
2. Montrer que deux matrices semblables ont la même trace.
  Soit $ u $ un endomorphisme de $ \mathbb{R}^{n} $. Ceci permet de définir la trace de $ u $, que l'on note $ \operatorname{Tr} u $, comme la trace de la matrice associée à $ u $ dans n'importe quelle base de $ \mathbb{R}^{n} $.
Montrer que si pour tout $ x \in \mathbb{R}^{n} $, $ x $ et $ u(x) $ sont liés alors $ u $ est une homothétie (on pourra introduire une base de $ \mathbb{R}^{n} $).

Dans toute la suite du problème, $ u $ désigne un endomorphisme non nul de trace nulle.

Justifier l'existence d'un vecteur $ x \in \mathbb{R}^{n} $ tel que $ x $ et $ u(x) $ soient indépendants, ainsi que celle d'un supplémentaire $ F $ de $ \mathrm{Vect}(x) $ contenant le vecteur $ u(x) $.

On désigne par $ p $ la projection sur $ F $ parallèlement à $ \mathrm{Vect}(x) $.

Montrer que la restriction à $ F $ de $ p \circ u $ est un endomorphisme de $ F $ de trace nulle.
Montrer qu'il existe une base de $ \mathbb{R}^{n} $ dans laquelle la matrice de $ u $ a tous ses coefficients diagonaux nuls (on pourra procéder par récurrence sur $ n $).
Soit $ D $ une matrice diagonale de $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ : $$ D=\begin{pmatrix} \alpha_{1} & & & & 0 \\ & \alpha_{2} & & & \\ & & \ddots & & \\ 0 & & & \ddots & \\ & & & & \alpha_{n} \end{pmatrix} $$ telle que $ i \neq j \Longrightarrow \alpha_{i} \neq \alpha_{j} $.
Montrer que l'application $ \varphi : M \mapsto DM - MD $ est un endomorphisme de $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ et en déterminer le noyau. Calculer $ \dim \ker \varphi $.
1. Soit $ \mathcal{G} $ un supplémentaire de $ \ker \varphi $ dans $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $. Montrer que la restriction de $ \varphi $ à $ \mathcal{G} $ est une bijection de $ \mathcal{G} $ sur $ \operatorname{Im} \varphi $.
2. Que vaut $ \dim \operatorname{Im} \varphi $ ?
3. En déduire que $ \operatorname{Im} \varphi $ est l'ensemble des matrices dont les coefficients diagonaux sont nuls.
Montrer que si $ A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ est une matrice de trace nulle, alors il existe deux matrices $ B $ et $ C $ de $ \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) $ telles que $ A = BC - CB $.

Problème 2

Toutes les suites et fonctions intervenant dans ce problème sont à valeurs réelles. À toute fonction $ f $, continue sur $[0,1]$, on associe la suite $ \left(a_{k}(f)\right)_{k \in \mathbb{N}} $ définie par

\[a_{k}(f)=\int_{0}^{1} x^{k} f(x)\, \mathrm{d}x.\]

Montrer que pour toute fonction $ f $ la suite $ \left(a_{k}(f)\right) $ tend vers $ 0 $.
Soient $ \alpha $ et $ \beta $ deux réels vérifiant $ 0 \leq \alpha < \beta \leq 1 $. Démontrer qu'il existe un polynôme $ P $ du second degré satisfaisant aux conditions suivantes :
1. $\forall x \in\,] \alpha, \beta[\,,\quad P(x) > 1$;
2. $\forall x \in [0,\alpha] \cup [\beta,1],\quad 0 \leq P(x) \leq 1$.
Un tel $ P $ étant choisi, calculer $$ \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{\alpha}^{\beta} P^{n}(x)\, \mathrm{d}x. $$
1. Soit $ f $ une application continue sur $[0,1]$. On suppose qu'il existe trois constantes $ \varepsilon, \alpha, \beta $, avec $ \varepsilon > 0 $ et $ 0 \leq \alpha < \beta \leq 1 $, telles que $$ \forall x \in [\alpha,\beta],\quad f(x) \geq \varepsilon. $$ Soit alors $ P $ un polynôme satisfaisant aux conditions imposées dans la question précédente. Calculer $$ \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{0}^{1} f(x)\, P^{n}(x)\, \mathrm{d}x. $$
2. En déduire que si $ f $ est une application continue sur $[0,1]$ telle que pour tout $ k \in \mathbb{N} $, $ a_{k}(f)=0 $, alors $ f=0 $. (On pourra raisonner par l'absurde.)
Soit $ f $ une application continue sur $[0,1]$.
1. Calculer $ a_{k}(F) $ où $ F(x) = -\displaystyle\int_{x}^{1} f(t)\, \mathrm{d}t $.
2. On suppose qu'il existe un entier $ p \in \mathbb{N} $ tel que pour tout $ k \geq p $ on ait $ a_{k}(f)=0 $. Montrer que $ f=0 $.